Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數，。

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（Ⅱ）若，問函數有無極值點？若有，請求出極值點的個數；若沒有，請說明理由。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a=1；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意可得f′(x)=aex+(ax1)ex+a，利用導函數研究函數的切線方程確定實數a的值即可；

(Ⅱ)當時,，∴，

設g(x)=ex(x1)+1,則g′(x)=xex，據此可確定的符號，從而確定函數有無極值點.

(Ⅰ)由題意得f(x)=(ax1)ex+ax+1，

∴f′(x)=aex+(ax1)ex+a，

∵在點(0,f(0))處的切線與直線xy+1=0平行，

∴切線的斜率為f′(0)=a1+a=1，解得a=1.

(Ⅱ)當時,，

∴，

設g(x)=ex(x1)+1,則g′(x)=ex(x1)+ex=xex，

則函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

函數，

據此可得恒成立，

函數在定義域內單調遞增，函數不存在極值點.