Question

已知f(x)是偶函數，x ÎR，若將f(x)的圖象向右平移一個單位又得到一個奇函
數，又f(2)＝－1，則f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2011)＝        （   ）                  

A．－1003

B．1003

C．1

D．－1

Answer 1

D

解：∵將f（x）的圖象向右平移一個單位得到一個奇函數，
即f（x-1）是奇函數，∴f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函數，∴f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1））=-f（x-1），
∴f（（x-1）+4）=-f（（x-1）+2）=f（x-1），可得f（x+4）=f（x），
∴函數f（x）的周期為4，
∵平移前f（x）是偶函數，f（x-1）是奇函數，x∈R，∴f（-1）=f（1）=f（3）=0，
f（0）=-f（-2）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=-1，
故選D．