Question

【題目】已知橢圓的方程為,其離心率,且短軸的個端點與兩焦點組成的三角形面積為,過橢圓上的點作軸的垂線,垂足為,點滿足,設點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

（2）若直線與曲線相切,且交橢圓于兩點, ,記的面積為, 的面積為,求的最大值 .

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據題意可得橢圓的方程為，設，

由，得，根據代入法可得曲線的方程為．（2）由題知直線的斜率存在，設直線的方程為，由與圓相切可得．將與聯立可得二次方程，然后由根與系數的關系及弦長公式可得，從而得到，，求得后再根據基本不等式求解即可得到所求．

(1)依題意可得 ，

由，

解得，橢圓方程為.

設，

由，得，

代人橢圓方程得曲線的方程為．

(2)由題知直線的斜率存在，設直線的方程為，

由與圓相切可得，即.

由消整理得

又直線與橢圓交于兩點，

所以，故得．

設，

則，，

.

則，.

，

當且僅當，即時，等號成立．

所以的最大值為．