Question

【題目】若數列、滿足 (N*)，則稱為數列的“偏差數列”.

（1）若為常數列，且為的“偏差數列”，試判斷是否一定為等差數列，并說明理由；

（2）若無窮數列是各項均為正整數的等比數列，且，為數列的“偏差數列”，求的值；

（3）設，為數列的“偏差數列”，，且，若對任意恒成立，求實數M的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）{an}不一定為等差數列，如；

（2）設數列{an}的公比為q，解方程可得首項和公比，由等比數列的通項公式和求和公式，計算可得所求值；

（3）由累加法可得數列{an}的通項公式，討論n為奇數或偶數，求得極限，由不等式恒成立思想可得M的最小值．

解：(1) 如，則為常數列，但不是等差數列，

(2) 設數列的公比為，則由題意，、均為正整數，

因為，所以，

解得或，

故 或(N*)，

①當時，，，，

② 當時，，，

綜上，的值為或；

(3) 由≤且≤得，=

故有：，

，

，

累加得：

=

=，

又，所以

當n為奇數時，單調遞增，，，

當n為偶數時，單調遞減，，，

從而≤，所以M≥，即M的最小值為．