Question

【題目】已知點P是圓F1：（x+1）2+y2=16上任意一點（F1是圓心），點F2與點F1關于原點對稱．線段PF2的中垂線m分別與PF1、PF2交于M、N兩點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）直線l經過F2 ， 與拋物線y2=4x交于A1 ， A2兩點，與C交于B1 ， B2兩點．當以B1B2為直徑的圓經過F1時，求|A1A2|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圓F1的半徑為4，且|MF2|=|MP|，

從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，）

∴點M的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，

其中長軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2，

則短半軸b= ，

橢圓方程為：

（2）解：當直線l 與x軸垂直時，B1（1， ），B2（1，﹣ ），又F1（﹣1，0），

此時 ，所以以B1B2為直徑的圓不經過F1．不滿足條件．

當直線l 不與x軸垂直時，設L：y=k（x﹣1）

由 即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

因為焦點在橢圓內部，所以恒有兩個交點．

設B1（x1，y1），B2（x2，y2），則：x1+x2= ，x1x2= ，

因為以B1B2為直徑的圓經過F1，所以 ，又F1（﹣1，0）

所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0

所以解得k2= ，

由 得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

因為直線l 與拋物線有兩個交點，所以k≠0，

設A1（x3，y3），A2（x4，y4），則：x3+x4= =2+ ，x3x4=1

所以|A1A2|=x3+x4+p=2+ +2= ．

【解析】（1）先確定F1、F2的坐標，再根據線段PF2的中垂線與與PF1、PF2交于M點，結合橢圓的定義，可得點M的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓，從而可得點M的軌跡C的方程；（2）當直線l與x軸垂直時，B1（1， ），B2（1，﹣ ），不滿足條件，當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為：y=k（x﹣1），由 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、圓的性質、弦長公式能求出|A1A2|．