Question

【題目】若函數 ， .
（Ⅰ）求 的單調區間和極值；
（Ⅱ）證明：若 存在零點，則 在區間 上僅有一個零點.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ， 得
.
由 解得 . 與 在區間 上的情況如下：

所以， 的單調遞減區間是 ，單調遞增區間是 ；
在 處取得極小值 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在區間 上的最小值為 .
因為 存在零點，所以 ，從而 .
當 時， 在區間 上單調遞減，且 ，
所以 是 在區間 上的唯一零點.
當 時， 在區間 上單調遞減，且 ， ，
所以 在區間 上僅有一個零點.
綜上可知，若 存在零點，則 在區間 上僅有一個零點
【解析】（1）根據題目中所給的條件的特點，利用原函數的導函數f'（x）與0的大小關系,求得函數的單調區間并能求出極值；
（2）利用極值求出最值，再利用最值討論存在零點的情況．導數和函數的單調性的關系：
（i）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；
（II）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．