Question

【題目】已知函數f（x）=2sinωx，其中常數ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，求函數 在 上的最大值；
（Ⅱ）若函數 的周期為π，求函數g（x）的單調遞增區間，并直接寫出g（x）在 的零點個數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=2sinωx，ω=1時，則f（x）=2sinx，那么：函數 =2sinx+4cos2x=4﹣4sin2x+2sinx，
令t=sinx，
∵x在 上，
∴﹣1≤t≤0
則函數F（x）轉化為h（t）=﹣4t2+2t+4，
對稱軸t= ，
∵﹣1≤t≤0，
∴h（t）的最大值為h（0）max=4，即ω=1，求函數 在 上的最大值為4．
（Ⅱ） =2﹣2sinωx+ cosωx，
∵周期為π，即T= ，
解得：ω=2
∴函數g（x）=2﹣2sin2x+ cos2x=2﹣4sin（2x﹣ ）=4sin（2x+ ）+2．
∵2x+ ）∈[2k ， ]是單調遞增區間，即2k ≤2x+ ≤
解得： ≤x≤
函數g（x）的單調遞增區間位[ ， ]，k∈Z．
令g（x）=0，即4sin（2x+ ）+2=0，
解得：2x+ =2kπ﹣ 或者2x+ =2kπ﹣ ，k∈Z．
∵x在 上．
當k取2，3…6時，2x+ =2kπ﹣ 滿足要求．
當k取2，3…6時，2x+ =2kπ﹣ 滿足要求．
故得g（x）在 上有10零點個數
【解析】（Ⅰ）根據函數f（x）=2sinωx，ω=1，化簡F（x）轉化為二次函數求解．（Ⅱ）利用輔助角公式化簡成為y=Asin（ωx+φ）的形式，函數 的周期為π，再利用周期公式求ω，將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；（2）x∈ 時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，可得零點個數．