Question

【題目】【2018廣東省深中、華附、省實、廣雅四校聯考】已知橢圓的離心率為，圓與軸交于點， 為橢圓上的動點， ， 面積最大值為．

（I）求圓與橢圓的方程；

（II）圓的切線交橢圓于點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）圓的方程為，橢圓的方程為．（II）

【解析】【試題分析】（1）根據離心率可有，依題意可知為橢圓的焦點，故.當位于橢圓上頂點時，面積取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圓和橢圓的方程.（2）當直線斜率存在時，設出直線方程為，利用圓和直線相切求得的等量關系式，利用韋達定理和弦長公式計算出弦長并利用配方法求得弦長的取值范圍.當直線斜率不存在時，直線的方程為，可直接得到的坐標求出弦長.

【試題解析】

（1）由題意得，解得： ①

因為，所以，點為橢圓的焦點，所以，

設，則，所以，當時，

，代入①解得，所以，

所以，圓的方程為，橢圓的方程為．

（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

因為直線與圓相切，所以，即，

聯立，消去可得，

，

令，則，所以，

所以，所以

②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，解得，

綜上， 的取值范圍是．