【題目】【2018天一大聯考高中畢業班階段性測試（四）】已知函數
， 
．
（I）若
恒成立，求實數
的取值范圍；
（II）證明：對于任意正整數
，都有
成立．
附： 
．
【答案】（I）
；（II）見解析．
【解析】試題分析：函數恒成立問題轉化為最值問題分析即可，由
恒成立，設
.只需分析單調性求出F（x）的最大值即可解得b的取值范圍（2））根據（1）可知
時有不等式
在
上恒成立，又因為
，所以
，即
成立.
所以不等式
在
上恒成立.所以對于任意正整數
， 
恒成立. 所以
， 
，…， 
，累加即可得所以
，所以
，
解析：（1）設
.
.
， 
，
所以當
時， 
，
于是
在
上單調遞增；
當
時， 
，
于是
在
上單調遞減.
所以
， 
，
所以
.
（2）根據（1）可知
時有不等式
在
上恒成立，
又因為
，所以
，即
成立.
所以不等式
在
上恒成立.
所以對于任意正整數
， 
恒成立.
所以
， 
，…， 
，
所以
，
所以
，
，
所以
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的
倍，縱坐標坐標都伸長為原來的
倍，得到曲線
，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點
為極點，以
軸非負半軸為極軸）中，直線
的極坐標方程為
．
（1）求直線和曲線的直角坐標方程；
（2）設點
是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場為了了解顧客的購物信息，隨機在商場收集了
位顧客購物的相關數據如下表：
一次購物款（單位：元） |
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|
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顧客人數 |
|
|
|
|
|
統計結果顯示
位顧客中購物款不低于
元的顧客占
，該商場每日大約有
名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次購物不低于
元的顧客發放紀念品.
（Ⅰ）試確定
， 
的值，并估計每日應準備紀念品的數量；
（Ⅱ）現有
人前去該商場購物，求獲得紀念品的數量
的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家電公司根據銷售區域將銷售員分成
兩組.2017年年初，公司根據銷售員的銷售業績分發年終獎，銷售員的銷售額(單位:十萬元)在區間
內對應的年終獎分別為2萬元，2.5萬元，3萬元，3.5萬元.已知200名銷售員的年銷售額都在區間
內，將這些數據分成4組： 
，得到如下兩個頻率分布直方圖:
以上面數據的頻率作為概率，分別從
組與
組的銷售員中隨機選取1位，記
分別表示
組與
組被選取的銷售員獲得的年終獎.
（1）求
的分布列及數學期；
（2）試問
組與
組哪個組銷售員獲得的年終獎的平均值更高？為什么？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年是內蒙古自治區成立70周年.某市旅游文化局為了慶祝內蒙古自治區成立70周年，舉辦了第十三屆成吉思汗旅游文化周.為了了解該市關注“旅游文化周”居民的年齡段分布，隨機抽取了
名年齡在
且關注“旅游文化周”的居民進行調查，所得結果統計為如圖所示的頻率分布直方圖.
年齡 |
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單人促銷價格（單位：元） |
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(Ⅰ)根據頻率分布直方圖，估計該市被抽取市民的年齡的平均數；
(Ⅱ)某旅行社針對“旅游文化周”開展不同年齡段的旅游促銷活動，各年齡段的促銷價位如表所示.已知該旅行社的運營成本為每人
元，以頻率分布直方圖中各年齡段的頻率分布作為參團旅客的年齡頻率分布，試通過計算確定該旅行社的這一活動是否盈利；
(Ⅲ)若按照分層抽樣的方法從年齡在
， 
的居民中抽取
人進行旅游知識推廣，并在知識推廣后再抽取
人進行反饋，求進行反饋的居民中至少有
人的年齡在
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018河南豫南九校高三下學期第一次聯考】設函數
．
（I）當
時， 
恒成立，求
的范圍；
（II）若
在
處的切線為
，且方程
恰有兩解，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018廣東省深中、華附、省實、廣雅四校聯考】已知橢圓
的離心率為
，圓
與
軸交于點
， 
為橢圓
上的動點， 
， 
面積最大值為
．
（I）求圓
與橢圓
的方程；
（II）圓
的切線
交橢圓于點
，求
的取值范圍．
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