Question

【題目】已知函數.（為自然對數的底數）

（1）當時，求在處的切線方程，并討論的單調性；

（2）當時，，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；在上單調遞增；(2)2.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義，由點斜式即可求得切線方程；對函數求導，根據導數的正負，判斷的單調性；

（2）對參數進行分類討論，對函數進行二次求導，根據函數單調性求參數范圍即可.

（1）當時，，；

容易知，

故可得切線方程為；

此時又因為，令，解得，

故在區間單調遞減，在區間單調遞增，

故，

故在上單調遞增；

（2）因為當時，恒成立，

即可，恒成立.

又.

由（1）可知在區間單調遞減，在區間單調遞增，

故.

①當，即時，，故在單調遞增.

故.

若滿足題意，只需，解得.

故此時；

②當，即時，

因為在區間單調遞增，且，

⒈當時，，

此時在區間單調遞增，

要滿足題意只需，解得,

故此時只需.

⒉當時，因為在區間單調遞增，

故一定存在，，

且使得在區間單調遞減，單調遞增.

故

要滿足題意，只需，

即.結合，

可得只需恒成立即可.

整理得只需在時恒成立即可.

顯然是關于且開口向下的二次函數，

無法滿足題意.

綜上所述：滿足題意的范圍是.

又因為，且，

故滿足題意的整數的最大值為.