Question

【題目】已知三棱錐D—ABC的四個頂點在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，當三棱錐D—ABC的體積取到最大值時，球O的表面積為(　　　)

A. B. 2πC. 5πD.

Answer 1

【答案】A

【解析】

三棱錐D-ABC的體積取到最大值時，平面平面DBC，取BC的中點G，連接AG，DG，分別取△ABC與△DBC的外心E，F，分別過E，F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體ABCD的球心，求出外接球的半徑，然后求解球的表面積．

如圖，

當三棱錐的體積取到最大值時，則平面ABC與平面DBC垂直，

取BC的中點G，連接AG，DG，則，

分別取與的外心E，F，

分別過E，F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，

則O為四面體ABCD的球心，

由，得正方形OEGF的邊長為，則OG＝

∴四面體的外接球的半徑R

∴球O的表面積為＝，故選A.