Question

【題目】如圖，圓錐OO1的體積為π．設它的底面半徑為x，側面積為S．

（1）試寫出S關于x的函數關系式；

（2）當圓錐底面半徑x為多少時，圓錐的側面積最小？

Answer 1

【答案】(1) (2) 當圓錐底面半徑為時，圓錐的側面積最小．

【解析】試題分析：（1）設圓錐OO1的高為h，母線長為l，根據體積為π得π，解得h，進而得l＝，從而得；

（2）令f(x)＝，求導，利用函數的單調性求最值即可.

試題解析：

（1）設圓錐OO1的高為h，母線長為l．

因為圓錐的體積為π，即πx2h＝π，所以h＝．

因此 l＝＝，

從而S＝πxl＝πx＝π，(x＞0)．

（2）令f(x)＝x4＋，則f ′(x)＝4x3－，(x＞0)．

由f ′(x)＝0，解得x＝．

當0＜x＜時，f ′(x)＜0，即函數f(x)在區間(0，)上單調遞減；

當x＞時，f ′(x)＞0，即函數f(x)在區間(，＋∞)上單調遞增．

所以當x＝時，f(x)取得極小值也是最小值．

答：當圓錐底面半徑為時，圓錐的側面積最小．