Question

【題目】已知三條直線l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．
（1）證明：這三條直線共有三個不同的交點；
（2）求這三條直線圍成的三角形的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：直線l1：ax﹣y+a=0恒過定點A（﹣1，0），

直線l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒過定點A（﹣1，0），

∴直線l1與l3交于點A；

又直線l2：x+ay﹣a（a+1）=0不過定點A，

且l1與l2垂直，必相交，設交點為B，則B（ ， ）；

l2與l3相交，交點為C（0，a+1）；

∵a＞0，∴三點A、B、C的坐標不相同，

即這三條直線共有三個不同的交點；

（2）解：根據題意，畫出圖形如圖所示；

AB⊥BC，

∴點B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點外；

則△ABC的面積最大值為

S= |AC| |AC|= ×（1+（a+1）2）= a2+ a+ ．

【解析】（1）分別求出直線l1與l3的交點A、l1與l2的交點B和l2與l3的交點C，且判斷三點的坐標各不相同即可；（2）根據題意畫出圖形，由AB⊥BC知點B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點外；由此求出△ABC的面積最大值．