Question

【題目】已知函數f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ＜0）的圖象與y軸的交點為（0，1），它的一個最高點和一個最低點的坐標分別為（x0，2），（x0，﹣2），

（1）若函數f（x）的最小正周期為π，求函數f（x）的解析式；

（2）當x∈（x0，x0）時，f（x）圖象上有且僅有一個最高點和一個最低點，且關于x的方程f（x）﹣a＝0在區間[，]上有且僅有一解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝2cos（2x）（2）（﹣1，]∪{﹣2}

【解析】

（1）由最高點縱坐標得A＝2，由題意T＝π，得到ω＝2，從而有f（x）＝2cos（2x+φ）再將（0，1）代入，求得cosφ，結合φ＜0的條件，得到φ，從而確定出函數f（x）的解析式；

（2）根據當x∈（x0，x0）時，f（x）圖象上有且僅有一個最高點和一個最低點，x0x0，得到T＝π，求得ω＝2，求得f（x）＝2cos（2x），當x∈[，]時，2x∈[，]，研究函數y＝2cost，t∈[，]，得到結果.

（1）由最高點縱坐標得A＝2，

又T＝π＝2π÷ωω＝2；

∴f（x）＝2cos（2x+φ），

代入點（0，1）cosφ；

∵φ＜0，∴φ；

∴f（x）＝2cos（2x）．

（2）∵當x∈（x0，x0）時，f（x）圖象上有且僅有一個最高點和一個最低點，

∴x0x0T＝πω＝2；

∴f（x）＝2cos（2x）．

f（x）﹣a＝0f（x）＝a；

當x∈[，]時，2x∈[，]，

令t＝2x．則t∈[，]，

y＝2cost，t∈[，]，

函數y＝2cost在[，π]上單調遞減，y＝2cost∈[﹣2，]；

函數y＝2cost在[π，]上單調遞增，y＝2cost∈[﹣2，﹣1]；

∴a∈（﹣1，]∪{﹣2}；

故實數a的取值范圍是：（1，]∪{﹣2}．