Question

【題目】已知函數，其中.

(Ⅰ) 當a＝－1時，求證： ；

(Ⅱ) 對任意，存在，使成立，求a的取值范圍.

（其中e是自然對數的底數，e＝2.71828…）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)寫出 時的函數解析式，然后由導函數求得原函數的單調性，最后求得最大值： 即可證得題中的結論；

(2)將問題轉化為 ，利用導函數的相關結論討論最值得到關于實數 的不等式即可求得最終結果.

試題解析：

（Ⅰ）當a＝－1時， （x＞0），

則，令，得．

當時， ， 單調遞增；當時， ， 單調遞減．

故當時，函數取得極大值，也為最大值，所以，

所以， ，得證．

（II）原題即對任意，存在，使成立，

只需．

設，則，

令，則對于恒成立，

所以為上的增函數，

于是，即對于恒成立，

所以為上的增函數，則．

令，則，

當a≥0時， 為的減函數，且其值域為R，符合題意．

當a＜0時， ，由得，

由得，則p(x)在上為增函數；由得，則p(x)在上為減函數，所以，

從而由，解得．

綜上所述，a的取值范圍是.