Question

【題目】定義符號函數，已知函數.

（1）已知，求實數的取值集合；

（2）當時，在區間上有唯一零點，求的取值集合；

（3）已知在上的最小值為，求正實數的取值集合；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）先求出的表達式，再解關于的不等式，從而求得的值；

（2）當時，寫出函數解析式，再將問題轉化為函數與在區間上有唯一的交點，作出圖象，即可得到答案；

（3）由題意得，，再對分和兩種情況討化，對的情況，再進行二級討論，即和兩種情況，最后進行綜合得到正實數的取值集合.

（1）因為，

所以或

解得：或，

所以實數的取值集合為.

（2）當時，

所以

因為在區間上有唯一零點，

所以方程在區間上有唯一的根，

所以函數與在區間上有唯一的交點，

函數的圖象，如圖所示：

當或時，兩個函數圖象只有一個公共點，

所以的取值集合為時，在區間上有唯一零點.

（3）當時，在恒成立，

因為，，

①當時，，

所以在恒成立，

所以.

②當時，，

ⅰ）當時，上式，

所以在恒成立，

所以，此時的數都成立；

ⅱ）當時，，

所以在恒成立，

當，即時，，

所以；

當，即時，，

所以；

所以；

綜合①②可得：或，

所以正實數的取值集合為：.