Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣kx+2，k∈R．
（1）若k=1，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）＜2在R+上恒成立，求k的取值范圍；
（3）若x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2 ， 求證x1+x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），

∵ ，∴0＜x＜1，

∵ ，∴x＞1

故函數f（x）的遞增區間為（0，1），遞減區間為（1，+∞）

（2）解：欲使f（x）＜2lnx﹣kx＜0＜在R+上恒成立，

只需k＞ 在R+上恒成立

設g（x）= （x＞0），g′（x）= ，

x∈（0，e），g′（x）＞0，g（x）為增函數，

x∈（e，+∞），g′（x）＜0，g（x）為減函數，

∴x=e時，g（e）= 是最大值，

只需 ＜k，即k＞

（3）解： 由（2）可知g（x）在（0，e）上單調增，

，即 ，

同理

相加得 ，

∴ ，

得：x1+x2＞1．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為k＞ 在R+上恒成立，設g（x）= （x＞0），根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而求出k的范圍即可；（3）根號g（x）的單調性，得到即 ， ，相加整理即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．