Question

【題目】已知函數，其中且，若， 在處切線的斜率為．

（1）求函數的解析式及其單調區間；

（2）若實數滿足，且對于任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為;（2）．

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義，結合，列方程組并解得， ，根據導函數符號變化規律可得函數單調區間，（2）結合函數極值點分類討論，確定所在單調區間，再根據函數單調性驗證是否滿足題意，從而求出實數的取值范圍．

試題解析：(1）由于且，則，

當時， ，即，

故，即， ，

因此.

令，則，即在上單調遞增，

由于，則，

故當時， ， ， 單調遞減；

當時， ， ， 單調遞增．

因此的單調遞減區間為， 的單調遞增區間為．

（2）當時，取，則，

由于在上單調遞增，則，不合題意，故舍去；

當時，由抽屜原理可知，則，

若，由于在上單調遞減，則成立；

若， ，則，

故，

由于，則， （當且僅當時取“=”）

故（當且僅當時取“=”）

由于，故上式無法取“=”，

因此恒成立， ．