Question

【題目】已知拋物線,拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為.

(Ⅰ)求拋物線的方程及其準線方程;

(Ⅱ)過的直線交拋物線于不同的兩點,交直線于點,直線交直線于點. 是否存在這樣的直線,使得? 若不存在,請說明理由;若存在,求出直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，. (Ⅱ)存在，或.

【解析】

（I）根據拋物線的定義求得拋物線的標準方程以及準線飛航程.

（II）設出直線的方程，聯立直線的方程和拋物線的方程，消去后根據判別式大于零求得的取值范圍，寫出韋達定理.結合得到直線與直線的斜率相等（或者轉化為），由此列方程，解方程求得的值，也即求得直線的方程.

(Ⅰ)因為橫坐標為的點到焦點的距離為,所以,解得,

所以

所以準線方程為.

(Ⅱ)顯然直線的斜率存在,設直線的方程為,.

聯立得 消去得.

由,解得. 所以且.

由韋達定理得,.

方法一:

直線的方程為,

又,所以,所以,

因為,所以直線與直線的斜率相等

又,所以.

整理得,即,

化簡得,,即.

所以,整理得,

解得. 經檢驗,符合題意.

所以存在這樣的直線,直線的方程為或

方法二:

因為,所以,所以.

整理得,即,

整理得.

解得,經檢驗,符合題意.

所以存在這樣的直線,直線的方程為或.