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【題目】已知動圓P與圓：內切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過曲線上一點（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點.

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

(1)根據題意分析可得動圓圓心的軌跡為拋物線,再根據拋物線的幾何意義求解方程即可.

(2) 設點,,直線的方程為：,聯立直線與拋物線的方程,求得韋達定理代入求得或,再分析定點即可.

解：（1）由題意可知,動圓圓心到點的距離與到直線的距離相等,所以點的軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線,所以曲線的方程為．

（2）易知,設點,,直線的方程為：,

聯立,得,所以,所以

因為,即,

所以,所以,所以或

當時,直線的方程：過定點與重合,舍去；

當時,直線的方程：過定點,所以直線過定點．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，，是曲線段：（是參數，）的左、右端點，是上異于，的動點，過點作直線的垂線，垂足為.

（1）建立適當的極坐標系，寫出點軌跡的極坐標方程；

（2）求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為．

（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于？

（2）已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，能使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，，.

(1)求的極值；

(2)若對任意的，當時，恒成立，求實數的最大值；

(3)若函數恰有兩個不相等的零點，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，，是曲線段：（是參數，）的左、右端點，是上異于，的動點，過點作直線的垂線，垂足為.

（1）建立適當的極坐標系，寫出點軌跡的極坐標方程；

（2）求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系中，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C與橢圓的離心率相同，且橢圓C短軸的頂點與橢圓E長軸的頂點重合.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓E有且僅有一個公共點，且與橢圓C交于不同兩點A，B，求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，為圖象的一個對稱中心，為圖象的一條對稱軸，且在上單調，則符合條件的值之和為________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當時，求的單調區間；

（2）若函數在處取得極大值，求實數a的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數滿足:①定義為；②.

（1）求的解析式；

（2）若；均有成立，求的取值范圍；

（3）設，試求方程的解.

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