【題目】已知在平面直角坐標系
中，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C與橢圓
的離心率相同，且橢圓C短軸的頂點與橢圓E長軸的頂點重合.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓E有且僅有一個公共點，且與橢圓C交于不同兩點A，B，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）先求出橢圓
的長軸及離心率，進而可得到橢圓C的短軸和離心率，進而可求得橢圓C的標準方程；
（2）若直線
的斜率不存在，易知直線與橢圓
相切，不符合題，從而可知直線的斜率存在，設出直線的方程
，與橢圓聯立，得到關于
的一元二次方程，結合
，可得
，然后將直線的方程與橢圓的方程聯立，得到關于的一元二次方程，進而求得弦長
的表達式，結合，可求得弦長的最大值.
（1）由題意，橢圓的長軸長為4，離心率為
，
設橢圓的方程為
，則橢圓的短軸長為
，即
，離心率為
，解得
，故橢圓的方程為.
（2）若直線的斜率不存在，則直線方程為
，此時直線與橢圓相切，不滿足題意，故直線的斜率存在，設其方程為，
聯立
，消去得，
，
則
，整理得，
聯立
，消去得，
，
則
，整理得
，顯然成立，
且
，
，
則
，
整理得
，
又因為，所以
，
設
，則
，
，
因為
，當且僅當
時，等號成立，所以
，此時
，即
時，取得最大值 .
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
，過點
的直線
，
分別交
于不同的兩點
、
，直線
恒過點
（1）證明：直線，的斜率之和為定值；
（2）直線，分別與
軸相交于
，
兩點，在軸上是否存在定點
，使得
為定值?若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
離心率為
，四個頂點構成的四邊形的面積是4.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線
與橢圓C交于P，Q均在第一象限，直線OP，OQ的斜率分別為
，
，且
（其中O為坐標原點）.證明：直線l的斜率k為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓P與圓
：
內切，且與直線
相切，設動圓圓心
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過曲線上一點
（
）作兩條直線
，
與曲線分別交于不同的兩點
，
，若直線，的斜率分別為
，
，且
.證明：直線
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某書店今年5月上架10種新書，且它們的首月銷量（單位：冊）情況為：100，50，100，150，150，100，150，50，100，100，頻率為概率，解答以下問題：
（1）若該書店打算6月上架某種新書，估計它首月銷量至少為100冊的概率；
（2）若某種最新出版的圖書訂購價為10元/冊，該書店計劃首月內按12元/冊出售，第二個月起按8元/冊降價出售，降價后全部存貨可以售出.試確定，該書店訂購該圖書50冊，100冊，還是150冊有利于獲得更多利潤？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
過橢圓
的右焦點
，拋物線
的焦點為橢圓
的上頂點，且
交橢圓
于
兩點，點
在直線
上的射影依次為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
交
軸于點
，且
，當
變化時，證明： 
為定值；
（3）當
變化時，直線
與
是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是
，
，離心率是
，直線
與橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；
（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值．
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