Question

【題目】如圖，正四棱錐中， ，側棱與底面所成角的正切值為．

（1）若是中點，求異面直線與所成角的正切值；

（2）求側面與底面所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）線線角找平行：取BD中點O，由三角形中位線性質得 ，即就是異面直線PD與AE所成的角．再解三角形可得異面直線PD與AE所成角的正切值為;（2）作OF⊥AD，因為PO⊥面ABCD，所以PF⊥AD，即得就是側面與底面所成二面角的平面角．再解三角形可得側面與底面所成二面角的大小為.

試題解析：解：（1）連結EO，由于O為BD中點，E為PD中點，所以， ．∴ 就是異面直線PD與AE所成的角．

在Rt中， ．∴ ．

由， 可知面．所以，

在Rt中， ，

即異面直線PD與AE所成角的正切值為;

（2） 連結交于點，連結PO，則PO⊥面ABCD，

∴ ∠PAO就是與底面所成的角，

∴ tan∠PAO=PO=AOtan∠PAO = =．

設F為AD中點，連FO、PF，

易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以就是側面與底面所成二面角的平面角．

在Rt中， ，

∴，即側面與底面所成二面角的大小為.