Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣a|．
（1）當a=2時，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]， =a（m＞0，n＞0），求證：m+4n≥2 +3．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=2時，f（x）=|x﹣2|，

則不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等價為|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，

即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，

當x≥2時，不等式等價為x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此時x≥5；

當1＜x＜2時，不等式等價為2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此時不等式不成立，此時無解，

當x≤1時，不等式等價為﹣x+2﹣x+1≥7，則2x≤﹣4，得x≤﹣2，此時x≤﹣2，

綜上不等式的解為x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集為（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）

（2）

解：若f（x）≤1的解集為[0，2]，

由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．

即 得a=1，

即 =a=1，（m＞0，n＞0），

則m+4n=（m+4n）（ ）=1+2+ ≥3+2 =2 +3．

當且僅當 ，即m2=8n2時取等號，

故m+4n≥2 +3成立

【解析】（1）利用絕對值的應用表示成分段函數形式，解不等式即可．（2）根據不等式的解集求出a=1，利用1的代換結合基本不等式進行證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用基本不等式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．