Question

【題目】關于函數的對稱性有如下結論：對于給定的函數，如果對于任意的都有成立為常數），則函數關于點對稱．

（1）用題設中的結論證明：函數關于點；

（2）若函數既關于點對稱，又關于點對稱，且當時，，求：①的值；

②當時，的表達式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.

【解析】

（1）根據題設中的結論證明即可；

（2）由題意可得，①代值計算即可；②由，然后代值計算即可.

（1）f（x）=的定義域為{x|x≠3}，對任意x≠3有f（3﹣x）+f（3﹣x）=（﹣2﹣）+（﹣2﹣）=﹣4，

∴函數f（x）=關于點（3，﹣2）對稱；

（2）函數f（x）關于點（2，0）對稱，

∴f（2+x）+f（2﹣x）=0，

即f（x）+f（4﹣x）=0，

又關于點（﹣2，1）對稱，

∴f（﹣2+x）+f（﹣2﹣x）=2，

即f（x）+f（﹣4﹣x）=2，

∴f（﹣4﹣x）=2+f（4﹣x），

即f（x+8）=f（x）﹣2，

①f（﹣5）=f（3）+2=23+3×3+2=19，

②x∈（8k﹣2，8k+2），x﹣8k∈（﹣2，2），4﹣（x﹣8k）∈（2，6），

∴f（x）=f（x﹣8）﹣2=f（x﹣8×2）﹣2×2=f（x﹣8×3）﹣2×3=…=f（x﹣8k）﹣2k，

又由f（t）=﹣f（4﹣t），

∴f（x）=f（x﹣8k）﹣2k=﹣f[4﹣（x﹣8k）]﹣2k=﹣[24﹣（x﹣8k）+3（4﹣（x﹣8k））]﹣2k，

∴即當x∈（8k﹣2，8k+2），k∈Z時，f（x）=﹣24﹣x+8k+3x﹣26k﹣12.