Question

【題目】已知函數.

若曲線在處的切線斜率為0，求a的值；

(Ⅱ）若恒成立，求a的取值范圍；

(Ⅲ）求證：當時，曲線 (x>0)總在曲線的上方．

Answer 1

【答案】（I）. （II）.（III）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用導函數在x=0處的值等于零,可以求出a的值.

(Ⅱ).分，，三種情況討論求的最小值即可;

(Ⅲ) 當時，構造,證明

試題解析：（I）函數的定義域為.

因為，所以.

由得.

（II）.

①當時，令得.

時，；時，.

在上單調遞減，在上單調遞增.

所以當時，有最小值.

“恒成立”等價于“最小值大于等于0”，即.

因為，所以.

②當時，符合題意；

③當時，取，則，不符合題意.

綜上，若對恒成立，則的取值范圍為.

（III）當時，令，可求.

因為，，且在上單調遞增，

所以在（0，）上存在唯一的，使得，即，且

.

當變化時，與在（0，）上的情況如下：

		0
		極小

則當時，存在最小值,且.

因為，所以.

所以當時，

所以當時，曲線總在曲線的上方.