Question

【題目】四棱錐中， 面，底面是菱形，且， ，過點作直線， 為直線上一動點.

（1）求證： ；

（2）當二面角的大小為時，求的長；

（3）在（2）的條件下，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）;（3）.

【解析】試題分析：

(1)利用三垂線定理結合即可證得；

(2)首先寫出二面角的平面角，最后利用余弦定理列出方程求解QB的長度即可；

(3)將問題轉化為兩個三棱錐的體積，其中公共的底為△POQ,高的總長度為AC的長，則體積公式為：

試題解析：

（1）由題意知直線在面上的射影為,

又菱形中，由三垂線定理知.

（2）和都是以為底的等腰三角形，設和的交點為,

連接，則是二面角的平面角，

由知，二面角大于，

所以點與點在平面的同側，如圖所示.

則是二面角的平面角，故.

在中， ，設，則中， ，

在直角梯形中， ，

在中，由余弦定理得，故且，

解得，即.

（3）由（2）知： ， ，

且面，∴.