Question

【題目】已知函數（k為常數）是實數集R上的奇函數，其中e為自然對數的底數。

（1）求k的值；

（2）討論關于x的方程如的根的個數。

Answer 1

【答案】（1）k=0，（2）見解析

【解析】

（1）因為定義域是實數集R，直接利用奇函數定義域內有0，則f（﹣0）＝﹣f（0）即f（0）＝0，即可求k的值；

（2）先把方程轉化為x2﹣2ex+m，令F（x）（x＞0），G（x）＝x2﹣2ex+m （x＞0），再利用導函數分別求出兩個函數的單調區間，進而得到兩個函數的最值，比較其最值即可得出結論．

（1）因為函數f（x）＝（k為常數）是實數集R上的奇函數，

所以f（﹣0）＝﹣f（0）即f（0）＝0，

則ln（e0+k）＝0解得k＝0，

顯然k＝0時，f（x）＝x是實數集R上的奇函數；

（2）由（1）得f（x）＝x

∴方程轉化為x2﹣2ex+m，令F（x）（x＞0），G（x）＝x2﹣2ex+m （x＞0），

∵F'（x），令F'（x）＝0，即0，得x＝e

當x∈（0，e）時，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上為增函數；

當x∈（e，+∞）時，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上為減函數；

當x＝e時，F（x）max＝F（e）

而G（x）＝（x﹣e）2+m﹣e2 （x＞0）

∴G（x）在（0，e）上為減函數，在（e，+∞）上為增函數；

當x＝e時，G（x）min＝m﹣e2

∴當m，即m時，方程無解；

當m，即m時，方程有一個根；

當m，即m時，方程有兩個根；