Question

【題目】已知函數（）．

（1）當時，求函數的零點；

（2）求的單調區間；

（3）當時，若對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）兩個零點，；

（2）當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，當時，的單調遞減區間為，沒有單調遞增區間，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）令，即，即，將代入可求得兩根為，；（2），對分成，，，四類來討論函數的單調區間；（3）當時，當時，，當時，由（2）可知函數在時取得最小值，故，解得．

試題解析：

（1）令，即，∵，∴．

，∵，∴．

∴方程有兩個不等實根：，．

∴當時，函數有且只有兩個零點，．

（2）．

令，即，解得或．

當時，列表得：

	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

當時，

①若，則，列表得：

	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

②若，易知的單調減區間為；

③若，則，列表得：

	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

綜上，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，的單調遞減區間為，沒有單調遞增區間；

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（3）∵， ∴當時，有，，，∴，從而．

當時，由（2）可知函數在時取得最小值．

∴為函數在上的最小值．

∴，解得．

∴的取值范圍是．