Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調區間與極值；

（2）已知函數的圖象與直線相交于，兩點（），證明：．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）求出導函數，利用確定增區間，確定減區間，從而可得極值；

（2）由（1）知只有在且即時，函數的圖象與直線才有兩個交點，由得，可得，同時由消去參數，并設，都可用表示，要證不等式，只要證，即，只要證，引入新函數．利用導數的知識可證．

解：（1），

①當時，，此時在上單調遞增，無極值；

②當時，由，得.

所以時，，單調遞減；

時，，單調遞增.

此時函數有極小值為，無極大值.

（2）由題設可得，所以，

且由（1）可知，，.

，，∴，同理，

由，可知，所以.

由，得，

作差得

設（），由，得，

所以，即，

所以，

要證，只要證，即，只要證.

設（），

則.

所以在單調遞增，.

所以.