Question

已知函數f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.
(1)求實數a的值及函數f(x)的單調區間；
(2)設g(x)＝，對?x₁∈(0，＋∞)，?x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，求正實數k的取值范圍；
(3)證明： ＋＋…＋<(n∈N^*，n≥2)．

Answer 1

（1）即f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1，＋∞)．
（2）k≥1
（3）見解析

(1)解　由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)為增函數，
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數，
即f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1，＋∞)．
(2)解　由(1)知x₁∈(0，＋∞)，f(x₁)≤f(1)＝0，即f(x₁)的最大值為0，
由題意知：對?x₁∈(0，＋∞)，?x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，
只需f(x)_max≤g(x)_max.
∵g(x)＝＝x＋＋2k＝－＋2k≤－2＋2k，
∴只需－2 ＋2k≥0，解得k≥1.
(3)證明　要證明＋＋…＋<(n∈N^*，n≥2)．
只需證＋＋…＋<，
只需證＋＋…＋<.
由(1)當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數，
f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，
∴當n≥2時，ln n²<n²－1，
<＝1－<1－＝1－＋，
＋＋…＋<＋＋…＋＝n－1－＋＝，
∴ ＋＋…＋<.