Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)若不過原點的直線與橢圓相交于兩點，與直線相較于點，且是線段的中點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的方程的離心率和橢圓上的點代入方程，列出方程組，求得的值，得到橢圓的方程；

（2）當直線的斜率不存在時， 的中點不在直線上，故直線的斜率存在.

設直線的方程為與橢圓的方程聯立，求得，進而得到點的坐標，

因為在直線上，解得，以及利用，求得實數，

把三角形的面積表達成實數的表示，即可求解面積的最大值．

試題解析：

(1) 由橢圓的離心率為,點在橢圓上得解得所以橢圓的方程為.

(2)易得直線的方程為.

當直線的斜率不存在時， 的中點不在直線上，故直線的斜率存在.

設直線的方程為,與聯立消得

,

所以.

設,則,.

由,所以的中點,

因為在直線上，所以,解得

所以,得,且,

又原點到直線的距離,

所以，

當且僅當時等號成立，符合,且.

所以面積的最大值為： .