Question

【題目】已知正△ABC三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是

Answer 1

【答案】
【解析】解：設正△ABC的中心為O1 ， 連結O1O、O1C、O1E、OE，
∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，結合O1C平面ABC，可得O1O⊥O1C，
∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，
∴Rt△O1OC中，O1C=
又∵E為AB的中點，∴Rt△O1EC中，O1E=O1C= ．
∴Rt△OO1E中，OE=
∵過E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，
∴當截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．
此時截面圓的半徑r=
可得截面面積為S=πr2= ．
故答案為： ．

設正△ABC的中心為O1 ， 連結O1O、O1C、O1E、OE．根據球的截面圓性質、正三角形的性質與勾股定理，結合題中數據算出OE．而經過點E的球O的截面，當截面與OE垂直時截面圓的半徑最小，相應地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．