Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)當時，在單調遞減，在單調遞增，當時，在單調遞增，在單調遞減，當時，在單調遞增，當時，在單調遞增，在單調遞減；(2)．

【解析】

試題分析：(1)求出的導數，討論當，和三種情況分類討論，根據導數取值的正負，即可求解函數的單調區間；(2)由（1）的單調區間，對討論，結合單調性和函數值的變化特點，即可求解的取值范圍．

試題解析：(1)

(i)設，則當時，；當時，.

所以在單調遞減，在單調遞增.

(ii)設，由得x=1或x=ln(-2a).

①若，則，所以在單調遞增.

②若，則ln(-2a)<1,故當時，；

當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

③若，則，故當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

(2)(i)設，則由(I)知，在單調遞減，在單調遞增.

又，取b滿足b<0且，

則，所以有兩個零點.

(ii)設a=0，則所以有一個零點.

(iii)設a<0，若，則由(I)知，在單調遞增.

又當時，<0，故不存在兩個零點；若，則由(I)知，在單調遞減，在單調遞增.又當時<0，故不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為.