Question

【題目】若函數為奇函數，且時有極小值．

（1）求實數的值；

（2）求實數的取值范圍；

（3）若恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）由題意，得到在定義域上恒成立，列出方程，即可求解；

（2）由（1）可得，求得導數，分和，兩種情況討論，即可求解；

（3）由代入，構造新函數，求得函數的單調性與最值，得到，即可求解實數的取值范圍．

（1）由題意，函數為奇函數，

可得在定義域上恒成立，即，

化簡整理得，所以.

（2）由（1）可得，則，

當時，又由恒成立，即恒成立，所以不存在極小值；

當時，令，則方程有兩個不等的正根，

故可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，

可得當時函數取得極小值，

所以實數的取值范圍是.

（3）由（2）和函數為奇函數，當時有極小值，

可得，且，即，

代入，可得，

所以，

構造新函數，則，

當，則，所以當時，恒成立，

故函數在定義域上單調遞減，其中，則，

可轉化為，所以，

由，設，可得，

所以函數在上遞增，故，

又由（2）可知，所以實數的取值范圍是.