Question

【題目】已知函數 .

（1）若函數的圖象與直線相切，求的值；

（2）求在區間上的最小值；

（3）若函數有兩個不同的零點， ，試求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （2）（3）

【解析】試題分析：（1）根據直線和曲線相切得到， ，聯立兩式消元即可得到參數值；（2）對函數求導分， ， 幾種情況討論函數的單調性，得到函數最值即可；（3）根據題意得到函數不單調，故得到時， 在上單調遞減，在上單調遞增，所以，若由兩個相異零點，則必有，解不等式即可。

解析：

（1）設切點，因切線方程為，

所以 ，①

又，②

由①得，③，將③代入②得，

所以，因為在上遞增，則是唯一根，

所以切點，代入切線方程得．

（2）因為，

所以 ，因，

當時， ，則在上單調遞增；

所以在遞增，則；

當時， 有， 有，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

則當時， 在遞減，則；

當時， 在遞增，則；

當時， 在遞減，在遞增，則．

綜上有

（3）由（2）可知，當時， 在上單調遞增，則至多有一個零點，又當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，所以，若由兩個相異零點，則必有，

即，則．