Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，且點P（2，1）在橢圓C上． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點A、B都在橢圓C上，且AB中點M在線段OP（不包括端點）上．求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得： ，解得 ， ∴橢圓C的方程為 ；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），直線AB的斜率為k，
則 ，兩式作差可得 ，得 ，
又直線OP： ，M在線段OP上，
∴ ，解得k=﹣1．
設直線AB的方程為y=﹣x+m，m∈（0，3），
聯立 ，得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，
△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2＞0，得﹣3＜m＜3．
．
∴|AB|= ，原點到直線的距離d= ，
∴ ．
當且僅當 ∈（0，3）時，等號成立．
∴△OAB面積的最大值
【解析】（Ⅰ）由題意列出關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）利用“點差法”求出A，B所在直線的斜率，設出直線方程，與橢圓方程聯立，由弦長公式求得弦長，再由點到直線的距離公式求出原點到直線AB的距離，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得最值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．