Question

已知數列是公差為的等差數列，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列的前項和為.
證明： .

Answer 1

（1）;（2）證明見解析.

解析試題分析：（1）根據題意，要求，首先求，因為數列是等差數列，且首項為1，公差為2，由等差數列的通項公式可立即得到，從而得；（2）要證明相應的不等式，應該先求數列的前項和，為此要明確這個數列是什么數列，從（1）知數列是一個等差數列相鄰項相乘取倒數所得，因此其前項和宜采用裂項相消的方法求得，具體就是，這樣在和式中，前后項可相消為零，從而，從而可知數列是遞增數列，最小項為，又從表達式可知，不等式得證.
試題解析：（1）由已知是公差為的等差數列， ，又，        3分
        5分
（2）        7分


        9分
，隨的增大而增大，        11分
又        12分
.        13分
考點：（1）數列的通項公式；（2）裂項相消法求數列的和，數列的單調性與不等式的證明.