Question

【題目】已知函數f（x）=2x+2ax（a為實數），且f（1）= ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（3）判斷函數f（x）在區間[0，+∞）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x+2ax（a為實數），且f（1）= ．

∴f（1）=2+2a= ．得2a= ，即a=﹣1，

則函數f（x）的解析式f（x）=2x+2﹣x

（2）解：f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），

則函數f（x）是奇函數

（3）解：設0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣ + =（ ﹣ ）（1+ ），

∵y=2x是增函數，∴ ﹣ ＜0，又1+ ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函數f（x）是增函數

【解析】（1）根據條件利用待定系數法進行求解即可．（2）根據函數奇偶性的定義進行證明，（3）根據函數單調性的定義進行證明即可．