Question

已知函數，，
(Ⅰ)若，求函數的極值；
(Ⅱ)若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）在函數的圖象上是否存在不同的兩點，使線段的中點的橫坐標與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)取得極大值，無極小值；(Ⅱ)的取值范圍為；（Ⅲ）不存在符合題意的兩點．

試題分析：(Ⅰ)若，求函數的極值，首先寫出，把代入后求導函數，求出導函數在定義域內的零點，然后判斷導函數在不同區間段內的符號，從而得到原函數的單調性，最后得到函數的極值情況； (Ⅱ)根據函數在上單調遞增，則其導函數在內大于0恒成立，分離變量后可求不等式一側所對應的函數的值域，從而求出的取值范圍； （Ⅲ）利用反證法思想，假設兩點存在，由線段AB的中點的橫坐標與直線AB的斜率之間滿足，利用兩點求斜率得到，把也用兩點的橫坐標表示，整理后得到∴，令，引入函數，通過求函數的導函數判斷函數單調性得到，即，從而得出矛盾，說明假設錯誤．
試題解析：(Ⅰ)的定義域為                  1分
，                       2分
故單調遞增；
單調遞減，                         3分
時，取得極大值，無極小值。            4分
(Ⅱ)，，
若函數在上單調遞增，
則對恒成立                5分
，只需               6分
時，，則，，            7分
故，的取值范圍為                       8分
（Ⅲ）假設存在，不妨設，
                          9分
                                  10分
由得，整理得        11分
令，，12分，
在上單調遞增，                                  13分
，即，故
不存在符合題意的兩點。                                  14分