Question

【題目】已知函數.

（1）判斷的單調性；

（2）已知：不等式對任意恒成立；：函數的兩個零點分別在區間和內，如果為真，為假，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當，且時，單調遞增；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可利用分類討論法進行求解，當時，有，且為增函數，為減函數，從而為增函數，所以為增函數，當時，，且為減函數，為增函數，從而為減函數，所以為增函數，故當，且時，單調遞增；（2）由（1）知在上是增函數，則在上的最大值為，若不等式對任意恒成立，則；若函數的兩個零點分別在區間和內，由二分法可得，得.又因為為真，為假，所以、一真一假，若真，假，則有；若假，真，則.故實數的取值范圍是.

試題解析：（1）當時，為增函數，為減函數，

從而為增函數，所以為增函數，

當時，，

為減函數，為增函數，

從而為減函數，所以為增函數，

故當，且時，單調遞增.……………………………………5分

（2）由（1）知在上是增函數，則

在上的最大值為，

若不等式對任意恒成立，則.……………………7分

若函數的兩個零點分別在區間和內，

則，得.……………………………………9分

∵為真，為假，∴、一真一假，

若真，假，則有；若假，真，則.

故實數的取值范圍是.…………………………12分