Question

已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)求數列{an}的通項an；

(2)若數列{bn}滿足bn＝(3n－1)an，數列{bn}的前n項和為Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（2）－1＜λ＜2

【解析】(1)由題知，＋1，

∴＋＝3，

∴＋＝·3n－1＝，∴an＝.

(2)由(1)知，bn＝(3n－1)·＝n· n－1，

Tn＝1×1＋2× 1＋3× 2＋…＋n· n－1，

Tn＝1×＋2× 2＋…＋(n－1) n－1＋n n，

兩式相減得，

Tn＝1＋＋＝2－，∴Tn＝4－.

∵Tn＋1－Tn＝＞0，

∴|Tn|為遞增數列．

①當n為正奇數時，－λ＜Tn對一切正奇數成立，

∵(Tn)min＝T1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；

②當n為正偶數時，λ＜Tn對一切正偶數成立，

∵(Tn)min＝T2＝2，∴λ＜2.

綜合①②知，－1＜λ＜2.