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【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O，底面ABCD，點M為PC中點，，，.

（1）求異面直線AP與BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM與平面PAC所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)以為原點,,,方向為軸,軸,軸正方向,建立空間直角坐標系,再利用向量法即可求解;

(2)求出平面的一個法向量和平面的一個法向量,再利用向量法求解即可.

(1)因為是菱形,所以,又底面,

故以為原點,,,方向為軸,軸,軸正方向,建立如圖所示空間直角坐標系,

則,0,,,1,,,0,,,0,,,0,,

所以,0,,,,,

,,

故直線與所成角的余弦值為;

(2),1,,,,,

設平面的一個法向量為,,,

則,令,得,4,,

又平面的一個法向量為,1,,

,

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】已知定義域為的函數是奇函數.

（1）求的值；

（2）判斷并證明函數的單調性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出直線的直角坐標方程；

（2）設點的坐標為，若點是曲線截直線所得線段的中點，求的斜率.

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【題目】已知棱臺，平面平面，，，，D，E分別是和的中點。

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成角的余弦值。

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【題目】已知函數f（x）＝x2+1，g（x）＝4x+1，的定義域都是集合A，函數f（x）和g（x）的值域分別為S和T，

（1）若A＝[1，2]，求S∩T

（2）若A＝[0，m]且S＝T，求實數m的值

（3）若對于集合A的任意一個數x的值都有f（x）＝g（x），求集合A．

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【題目】某產品的三個質量指標分別為x, y, z, 用綜合指標S =" x" + y + z評價該產品的等級. 若S≤4, 則該產品為一等品. 現從一批該產品中, 隨機抽取10件產品作為樣本, 其質量指標列表如下:

產品編號

A1

A2

A3

A4

A5

質量指標(x, y, z)

(1,1,2)

(2,1,1)

(2,2,2)

(1,1,1)

(1,2,1)

產品編號

A6

A7

A8

A9

A10

質量指標(x, y, z)

(1,2,2)

(2,1,1)

(2,2,1)

(1,1,1)

(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率;

(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機抽取兩件產品,

(1) 用產品編號列出所有可能的結果;

(2) 設事件B為 “在取出的2件產品中, 每件產品的綜合指標S都等于4”, 求事件B發生的概率.

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【題目】已知函數（）.

（1）若，證明：當時，；

（2）若對于任意的且，都有，求的取值集合.

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【題目】政府工作報告指出，2018年我國深入實施創新驅動發展戰略，創新能力和效率進一步提升；2019年要提升科技支撐能力，健全以企業為主體的產學研一體化創新機制.某企業為了提升行業核心競爭力，逐漸加大了科技投入；該企業連續6年來的科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數據統計如下：

科技投入

2

4

6

8

10

12

收益

根據散點圖的特點，甲認為樣本點分布在指數曲線的周圍，據此他對數據進行了一些初步處理，如下表：

其中，.

(1)（i）請根據表中數據，建立關于的回歸方程（保留一位小數）；

（ii）根據所建立的回歸方程，若該企業想在下一年的收益達到2億，則科技投入的費用至少要多少（其中）？

(2)乙認為樣本點分布在二次曲線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關指數，試比較甲、乙兩位員工所建立的模型，誰的擬合效果更好.

附：對于一組數據，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，相關指數：.

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【題目】（1）求證：，其中；

（2）求證：.

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