Question

【題目】

已知函數的反函數.定義：若對給定的實數，函數與互為反函數，則稱滿足“和性質”；若函數與互為反函數，則稱滿足“積性質”.

（1） 判斷函數是否滿足“1和性質”，并說明理由；

（2） 求所有滿足“2和性質”的一次函數；

（3） 設函數對任何，滿足“積性質”.求的表達式.

Answer 1

【答案】（1）不滿足“1和性質”（2）（3）

【解析】

⑴分別求出的反函數和，然后對照，如果解析式相同，就滿足“1和性質”，否則，不滿足；

⑵知道函數的類型為一次函數，可用待定系數法設出函數解析式，因為滿足“2和性質”，建立方程，求出參數的值；

⑶設出函數圖象上任意一點A，根據反函數的性質，A關于直線y=x對稱的點在其反函數圖象上，進行計算和代換.

（1）函數的反函數是，

，

而，其反函數為

故函數不滿足“1和性質” …… 4分

(2)設函數滿足“2和性質”，.

,…… 6分

而，得反函數，…… 8分

由“2和性質”定義可知對恒成立.

即所求一次函數. ……10分

（3）設且點圖像上，則在函數

圖像上，

故可得， ……12分

令，. ……14分

綜上所述，此時其反函數是，

而故互為反函數. ……16分