Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點.

（1）證明：平面；

（2）若面與面所成二面角的大小為，求與面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于，則是的中點，連接，證明，平面即得證；（2）如圖以為原點，方向分別為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標系.設，根據面與面所成二面角的大小為求出，再求出與面所成角的正弦值．

（1）證明：連接交于，則是的中點，連接，

則是的中位線，所以，

有因為，

所以平面.

（2）如圖以為原點，方向分別為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標系.設，則

，，，，，

，設，則，

又，即，解得 ①

設是平面的一個法向量，則

即，方程的一組解為 ,

顯然是面的一個法向量，依題意有

，得，

結合①式得 .

因為底面，所以是與面所成的角，

所以 .