【題目】已知橢圓的焦點在圓
上,且橢圓上一點與兩焦點圍成的三角形周長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過圓上一點作圓的切線
交橢圓于
兩點,證明:點
在以
為直徑的圓內.
【答案】(1) (2)證明見解析
【解析】
(1)焦點在圓上,可得,由焦點三角形周長求得
,然后再求得
,從而得橢圓方程;
(2)直線的斜率不存在時,直接求出
坐標,
到圓心距離小于半徑即可,直線
的斜率存在時,設直線
的方程為
,由直線與圓相切得出參數
的關系,直線方程代入橢圓方程,由韋達定理得
,然后證明
,即得.
(1)∵圓與
軸的交點為
,∴
∵橢圓上一點與兩焦點圍成的三角形周長為
∴ ∴
∴
∴橢圓的方程為
(2)當直線的斜率不存在時,
兩點的坐標分別為
此時點到
中點的距離為1,以
為直徑的圓的半徑為
∵,∴點
在以
為直徑的圓內;
當直線的斜率存在時,設直線
的方程為
因為直線與圓相切,所以
,即
聯立,化簡得:
∴
∴
∴即
∴點
在以
為直徑的圓內
綜上所述,點在以
為直徑的圓內.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,若存在實數
,使得對于定義域內的任意實數
,均有
成立,則稱函數
為“可平衡”函數,有序數對
稱為函數
的“平衡”數對.
(1)若,判斷
是否為“可平衡”函數,并說明理由;
(2)若,
,當
變化時,求證:
與
的“平衡”數對相同;
(3)若,且
、
均為函數
的“平衡”數對.當
時,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數的最小正周期為
,將函數
的圖像向右平移
個單位長度,再向下平移
個單位長度,得到函數
的圖像.
(1)求函數的單調遞增區間;
(2)在銳角中,角
的對邊分別為
,若
,
,求
面積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】商家通常依據“樂觀系數準則”確定商品銷售價格,及根據商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及常數x(0<x<1)確定實際銷售價格c=a+x(b﹣a),這里,x被稱為樂觀系數.
經驗表明,最佳樂觀系數x恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中項,據此可得,最佳樂觀系數x的值等于 .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是矩形,側棱
底面
,且
,過棱
的中點
,作
交
于點
.
(1)證明:平面
;
(2)若面與面
所成二面角的大小為
,求
與面
所成角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知直線x=﹣2上有一動點Q,過點Q作直線l,垂直于y軸,動點P在l1上,且滿足(O為坐標原點),記點P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)已知定點M(,0),N(
,0),點A為曲線C上一點,直線AM交曲線C于另一點B,且點A在線段MB上,直線AN交曲線C于另一點D,求△MBD的內切圓半徑r的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某鮮花店根據以往某品種鮮花的銷售記錄,繪制出日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組區間的頻率視為概率,且假設每天的銷售量相互獨立.
(1)求在未來的連續4天中,有2天的日銷售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率;
(2)用表示在未來4天里日銷售量不低于100枝的天數,求隨機變量
的分布列和數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,底面△ABC是等腰直角三角形,且AB=AC=4,直三棱柱的高等于4,線段B1C1的中點為D,線段BC的中點為E,線段CC1的中點為F.
(1)求異面直線AD、EF所成角的大。
(2)求三棱錐D﹣AEF的體積.
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