Question

【題目】已知兩定點， ，曲線上的動點滿足，直線與曲線的另一個交點為．

（Ⅰ）求曲線的標準方程；

（Ⅱ）設點，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，所以曲線C是以F1，F2為焦點，長軸長為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；（Ⅱ）設M（xM，yM），P（xP，yP），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由得（3+4k2）y2-24ky=0，由此利用韋達定理、橢圓性質，結合已知條件，所以，則，轉化為坐標關系求出點坐標代入橢圓即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵， ，

∴，

∵，

∴曲線是以， 為焦點，長軸長為的橢圓．

曲線的方程為．

（Ⅱ）由題意知直線不垂直于軸，也不與軸重合或平行．

設， ，直線方程為，其中．

由，得．

解得或．

依題意， ．

因為，

所以，則．

于是，所以，

因為點在橢圓上，所以．

整理得，

解得或（舍去），

從而．

所以直線的方程為．