Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求證： 函數是偶函數；

（2）若對任意的，都有，求實數的取值范圍；

（3）若函數有且僅有個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）的取值范圍為；（3）的取值范圍為.

【解析】試題分析: （1）當時， ，定義域為．判斷即可證明;

（2）由題意知， 在上恒成立，

即在上恒成立． 分當時，當時，當時，三種情況討論可得實數的取值范圍；

（3）當時， ，有唯一零點，不符合題意；

當時，

①若，則，因此在內無零點，可判斷在內最多有兩個零點，不符合題意；

②若，則，所以在上單調增，

在上單調減，而， ，

所以在內有兩個零點， 再分，和兩種情況討論,可得實數的取值范圍．

試題解析:（1）當時， ，定義域為．

因為對任意的，都有，

所以函數是偶函數．

（2）由題意知， 在上恒成立，

即在上恒成立．

①當時， ，

因為當時， 取得最小值，所以；

②當時， 恒成立；

③當時， ，

因為，所以的值域為，所以．

綜上所述， 的取值范圍為．

（3）當時， ，有唯一零點，不符合題意；

當時，

①若，則，所以在上單調增，則，

因此在內無零點，

而在內最多有兩個零點，不符合題意；

②若，則，所以在上單調增，

在上單調減，而， ，

所以在內有兩個零點，

若，則，所以在上單調減，又，

此時在內無零點，不符合題意；

若，則，所以在上單調增，

在上單調減，

要使在內有兩個零點，則，

即，故．

綜上所述， 的取值范圍為．