Question

已知函數，且在處的切線斜率為．
（1）求的值，并討論在上的單調性；
（2）設函數，其中，若對任意的總存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 在上單調遞增，在 上單調遞減
(Ⅱ)

解析試題分析：(Ⅰ)

∴     ∴
∴，或
∴，或
則在上單調遞增，在 上單調遞減
(Ⅱ)當時，單調遞增，
∴   則依題在上恒成立

①當時，，∴在上恒成立，即在上單調遞增，又，所以在上恒成立，即時成立
②當時，當時，，此時單調遞減，
∴，故時不成立，綜上
考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性，不等式恒成立問題。
點評：典型題，本題屬于導數內容中的基本問題，（1）運用“函數在某點的切線斜率，就是該點的導數值”，確定直線的斜率。通過研究導數值的正負情況，明確函數的單調區間。不等式恒成立問題，一般的要轉化成求函數的最值問題。