Question

【題目】函數f(x)＝ (x∈R)．

(1)求函數f(x)的最小值；

(2)已知m∈R，命題p：關于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2對任意x∈R恒成立；q：函數y＝(m2－1)x是增函數．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1（2）(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．

【解析】　試題分析：（1）先求各段函數最小值，再求三段最小值得最小值（2）先根據最值研究恒成立問題，解得P為真時實數m的取值范圍；根據冪函數性質確定Q為真時實數m的取值范圍；再由“p或q”為真，“p且q”為假得p真q假或若p假q真，最后不等式組得實數m的取值范圍．

試題解析：(1)作出函數f(x)的圖象，如圖．

可知函數f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，在(－2，＋∞)上單調遞增，故f(x)的最小值為f(x)min＝f(－2)＝1.

(2)對于命題p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；對于命題q，m2－1>1，故m>或m<－.

由于“p或q”為真，“p且q”為假，則

①若p真q假，則解得－≤m≤1.

②若p假q真，則

解得m<－3或m>. 故實數m的取值范圍是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．