Question

【題目】設函數，，其中，e是自然對數的底數．

（1）若在上存在兩個極值點，求a的取值范圍；

（2）當，設，，若在上存在兩個極值點，，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）在上存在兩個極值點，則有兩根，再分離參數，借助導數研究即可；

（2）要證即證，在上存在兩個極值點，，且，即有兩個零點，，可得，設，則，，即證，，即當時，，設函數，，利用導數求其單調性及函數的最值，即可得證.

解：（1），由題意可知，在上有兩個不同的實數根，

即，只需函數和圖象有兩個交點，

，易知在上為減函數，且，

當時，，為增函數；當時，，為減函數；

所以，所以，又當，，，，

要使在上存在兩個極值點，則．

故的取值范圍為．

（2）易得，

在上存在兩個極值點，，且

有兩個零點，，

則，解得

于是

又，設則，因此，

要證，即證，

即當時，，設函數，，則

所以，為上的增函數，又，因此

于是，當時，有，

所以，有成立，即，得證